Hàm số nào sau đây đồng biến trên R– Hướng dẫn chi tiết từ A đến Z

Các kiến thức về hàm số nói chung và chủ đề “hàm số nào sau đây đồng biến trên R” nói riêng đều là những nền tảng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Đây cũng là những nội dung xuất hiện thường xuyên trong kiểm tra, thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy, trong bài viết này, Luận Văn 1080 sẽ tập trung giải đáp các thắc mắc thường gặp như: “Hàm số đồng biến trên R là gì?”, “Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là gì?”… giúp bạn nắm chắc lý thuyết và áp dụng hiệu quả vào bài tập.

1. Định nghĩa hàm đồng biến

Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng K

• Nếu x1<x2 thì f(x1)≤f(x2) với mọi x1,x2∈K.
• Nói cách khác, khi giá trị của biến x tăng, thì giá trị của hàm f(x) cũng không giảm.
• Nếu bất đẳng thức xảy ra nghiêm ngặt (f(x1)<f(x2)), thì hàm số được gọi là đồng biến nghiêm ngặt trên khoảng đó.

Ví dụ:

Hàm số f(x)=2x+3 là đồng biến trên R, vì khi x tăng, giá trị 2x+3 cũng luôn tăng.

2. Điều kiện để hàm số đồng biến trên R

Một hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên R khi đạo hàm của nó không âm tại mọi điểm thuộc R, tức là:

f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R và đặc biệt:

• Nếu f′(x)>0 với mọi x∈R, thì hàm số đồng biến nghiêm ngặt trên R.
• Nếu f′(x)=0 tại một số điểm nhưng không đổi dấu, hàm vẫn có thể đồng biến (không giảm) trên R.

Tóm tắt điều kiện bằng lời: Hàm số đồng biến trên R khi đạo hàm của nó luôn dương hoặc bằng 0 với mọi giá trị x thuộc tập số thực, và không đổi dấu âm tại bất kỳ điểm nào.

Hàm số tăng trên miền xác định

3. Cách xác định hàm số nào sau đây đồng biến trên R

• Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm f′(x).
• Bước 3: Xét dấu của f′(x) trên R.

Nếu f′(x)>0 → hàm đồng biến trên R

Nếu f′(x)<0→ hàm nghịch biến trên R

Nếu f′(x) đổi dấu → không đồng biến toàn R, chỉ tăng trên từng khoảng.

>> Đọc thêm: Nguyên hàm của ln x & công thức tính chuẩn xác

4. Ví dụ minh họa xác định hàm số nào sau đây đồng biến trên R

Ví dụ 1: Câu hỏi trắc nghiệm

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. y=−x3

B. y=e^x

C. y=x^2

D. y=−2x+1

Giải:

A. f′(x)=−3×2≤0 → giảm.

B. f′(x)=ex>0→ đồng biến trên R.

C. f′(x)=2x → đổi dấu tại 0 → không đồng biến toàn R.

D. f′(x)=−2<0 → nghịch biến.

>> Đáp án đúng: B. y=e^x

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến của f(x)=x^3 + 2x

f′(x)=3x^2 + 2 > 0 với mọi x∈R

→ Hàm luôn đồng biến trên R.

5. Đồ thị của hàm số đồng biến

Đồ thị của một hàm số đồng biến trên một khoảng K sẽ có dạng một đường cong đơn điệu tăng trên khoảng đó. Nghĩa là, khi di chuyển từ trái sang phải trên đồ thị, giá trị của hàm số sẽ liên tục tăng lên.

Đồ thị của hàm số đồng biến

Ví dụ: Hàm số y = x^2 là đồng biến trên khoảng (0, +∞). Đồ thị của hàm số này trên khoảng đó sẽ là một nửa parabol mở ra phía trên, liên tục tăng khi x tăng.

Để xác định khoảng đồng biến của một hàm số từ đồ thị, ta có thể dựa vào các dấu hiệu sau:

• Đồ thị là đường cong đơn điệu tăng trên một khoảng: Khoảng đó chính là khoảng đồng biến của hàm số.
• Tìm khoảng mà đạo hàm dương trên đó: Trên khoảng đó, hàm số sẽ đồng biến vì đạo hàm dương đồng nghĩa với hàm số tăng.
• Quan sát bảng biến thiên: Trên khoảng nào mà dấu biến thiên là dương (+), hàm số sẽ đồng biến trên khoảng đó.

Lưu ý rằng một hàm số có thể có nhiều khoảng đồng biến, xen kẽ với các khoảng nghịch biến (giảm). Việc xác định chính xác các khoảng đồng biến là rất quan trọng trong phân tích tính chất của hàm số.

>> Tham khảo thêm: Dịch vụ chỉnh sửa văn bản luận văn uy tín, chất lượng cao

6.Các dạng hàm số thường đồng biến trên R

7. Sự liên quan giữa đồng biến và tăng

Sự liên quan giữa đồng biến và tăng

Như đã đề cập ở trên, đồng biến và tăng là hai tính chất liên quan nhau của hàm số. Tuy nhiên, không phải hàm số nào cũng đồng biến khi tăng và ngược lại. Điều này phụ thuộc vào miền xác định của hàm số.

Nếu hàm số f(x) đồng biến và tăng trên một miền xác định I, thì với mọi giá trị a và b trong miền I, ta có thể kết luận rằng f(a) < f(b) nếu a < b. Tức là giá trị của hàm số sẽ tăng theo giá trị của biến số x.

Tuy nhiên, nếu hàm số chỉ tăng trên một miền xác định I mà không đồng biến, thì việc kết luận này không còn đúng nữa. Ví dụ, cho hàm số f(x) = x^3 trên miền xác định [-1, 1]. Hàm số này chỉ tăng trên miền I mà không đồng biến, do đó ta không thể kết luận được f(-1) < f(1).

8. Kết luận

Trong bài viết này, đã giải quyết được về định nghĩa và điều kiện và cách xác định hàm số nào sau đây đồng biến trên R. Chúng ta đã thấy rằng hàm số đồng biến khi và chỉ khi nó tăng trên miền xác định. Đồng thời, đồ thị của hàm số đồng biến sẽ có dạng đường thẳng nghiêng. Sự liên quan giữa đồng biến và tăng cũng đã được chúng ta thảo luận trong bài viết này.