Bậc của đa thức là gì? Cách xác định bậc đa thức chính xác

Bậc của đa thức là kiến thức nền tảng trong Đại số, giúp xác định đặc điểm và mức độ của một đa thức dựa trên số mũ của biến. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết cách xác định bậc đa thức chính xác, đặc biệt khi đa thức có nhiều biến hoặc chứa các hạng tử đặc biệt. Trong bài viết này, hãy cùng Luận Văn 1080 tìm hiểu bậc đa thức là gì, cách xác định bậc và những lưu ý quan trọng để tránh nhầm lẫn khi làm dạng bài này nhé.

1. Bậc của đa thức là gì?

Bậc của đa thức là bậc của một hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Hiểu đơn giản, muốn tìm bậc của một đa thức, trước hết cần thu gọn các hạng tử đồng dạng, sau đó xác định bậc của từng hạng tử và chọn bậc lớn nhất.

Với đa thức một biến, bậc của hạng tử chính là số mũ của biến. Với đa thức nhiều biến, bậc của một hạng tử được xác định bằng tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó.

Ví dụ: Cho đa thức: P(x, y) = 2x²y + 3xy − 1

Ta có:

• Hạng tử 2x²y có bậc: 2 + 1 = 3.
• Hạng tử 3xy có bậc: 1 + 1 = 2.
• Hạng tử −1 có bậc: 0.

Bậc lớn nhất trong những hạng tử là 3. 

=> Bậc của đa thức P(x, y) là 3.

Bậc của đa thức là gì?

2. Cách tính bậc của đa thức

Để tính bậc của đa thức chính xác, trước hết bạn cần đưa đa thức về dạng thu gọn, sau đó xác định bậc của từng hạng tử và chọn hạng tử có bậc cao nhất.  Sau đây, Luận Văn 1080 sẽ hướng dẫn bạn cách tính bậc của đa thức một biến và nhiều biến:

2.1. Bậc của đa thức một biến

Với đa thức một biến, sau khi thu gọn, bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến xuất hiện trong đa thức. Vì vậy, khi làm bài, bạn có thể tính bậc của đa thức một biến lần lượt theo các bước:

• Bước 1: Thu gọn đa thức bằng cách nhóm và cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
• Bước 2: Xác định số mũ của biến trong từng hạng tử.
• Bước 3: Chọn số mũ lớn nhất và đây chính là bậc của đa thức.

Ví dụ: Cho P(x) = 3x⁵ − 2x³ + 4x² − 7

Số mũ của biến x trong các hạng tử lần lượt là 5, 3, 2 và 0. 

Số mũ lớn nhất là 5.

=> Bậc của đa thức P(x) là 5.

Với trường hợp đa thức chưa thu gọn, bạn cần thu gọn đa thức trước khi tìm bậc. 

Ví dụ: Cho Q(x) = 2x⁴ + 3x² − 5x⁴ + x + 1

Thu gọn: Q(x) = −3x⁴ + 3x² + x + 1

Số mũ lớn nhất của x là 4.

=> Bậc của đa thức Q(x) là 4.

2.2. Bậc của đa thức nhiều biến

Đối với đa thức nhiều biến, cách xác định bậc có phần khác so với đa thức một biến. Đầu tiên, bạn cần tính bậc của từng hạng tử bằng cách cộng số mũ của tất cả các biến trong hạng tử đó. Sau đó, bậc của đa thức là bậc lớn nhất trong các hạng tử sau khi đa thức đã được thu gọn.

Bạn có thể tính bậc của đa thức nhiều biến như sau:

• Bước 1: Thu gọn đa thức.
• Bước 2: Tính bậc của từng hạng tử bằng cách cộng các số mũ của các biến.
• Bước 3: Chọn bậc lớn nhất trong các hạng tử.

Ví dụ 1: Cho P(x, y) = 2x³y² − 4x²y + 3xy⁴ − 5

Ta xác định:

• 2x³y² có bậc: 3 + 2 = 5.
• −4x²y có bậc: 2 + 1 = 3.
• 3xy⁴ có bậc: 1 + 4 = 5.
• −5 có bậc: 0.

Bậc lớn nhất là 5.

=> Bậc của đa thức P(x, y) là 5.

Ví dụ 2: Cho Q(x, y) = x⁶ − 2y⁵ + x⁴y⁵ + 1

Ta có:

• x⁶ có bậc 6.
• −2y⁵ có bậc 5.
• x⁴y⁵ có bậc: 4 + 5 = 9.
• 1 có bậc 0.

Bậc lớn nhất là 9.

=> Bậc của đa thức Q(x, y) là 9.

Bậc của đa thức nhiều biến

Mẹo nhớ nhanh: 

• Đa thức một biến → tìm số mũ lớn nhất. 
• Đa thức nhiều biến → cộng số mũ của các biến trong từng hạng tử, sau đó chọn tổng lớn nhất.

3. Ví dụ minh họa cách xác định bậc của đa thức

Sau khi nắm được nguyên tắc xác định bậc của đa thức, việc thực hành qua các ví dụ cụ thể sẽ giúp bạn hiểu rõ cách làm và tránh nhầm lẫn khi gặp những dạng bài khác nhau. Tùy vào đa thức một biến hay nhiều biến, cách xác định bậc sẽ có điểm khác biệt. Dưới đây là một số ví dụ về cách xác định bậc của đa thức từ cơ bản đến nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Ví dụ xác định bậc của đa thức một biến

Ví dụ 1: Xác định bậc của A(x) = 7x⁶ − 4x⁴ + 3x² − 9

Các số mũ của x lần lượt là 6, 4, 2 và 0. 

Số mũ lớn nhất là 6.

=> Bậc của đa thức A(x) là 6.

Ví dụ 2: Xác định bậc của Q(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x⁴ + x − 6

Trước tiên, chúng ta cần thu gọn đa thức:

Q(x) = −2x⁴ + 2x² + x − 6

Hạng tử có số mũ lớn nhất là −2x⁴.

=> Bậc của đa thức Q(x) là 4.

Ví dụ xác định bậc của đa thức nhiều biến

Xác định bậc của P(x, y) = 3x²y³ − 5xy² + 4x⁴ − 8

Ta lần lượt tính bậc của từng hạng tử:

• 3x²y³ có bậc: 3 + 2 = 5.
• −5xy² có bậc: 1+2 = 3.
• 4x⁴ có bậc: 4.
• – −8 có bậc: 0.

Bậc lớn nhất là 5.

=> Bậc của đa thức P(x, y) là 5.

Với đa thức nhiều biến, bạn cần nhớ rằng bậc của một hạng tử không phải là số mũ lớn nhất của một biến riêng lẻ, mà được tính bằng tổng số mũ của tất cả các biến trong hạng tử đó.

Ví dụ đa thức cần thu gọn trước khi xác định bậc

Xác định bậc của P(x, y) = 3x⁴y − 2x²y² + 5x⁴y − 7xy + 1

Trước tiên, ta cần thu gọn các hạng tử đồng dạng:

P(x, y) = 8x⁴y − 2x²y² − 7xy + 1

Sau đó tính bậc:

• 8x⁴y có bậc: 4 + 1 = 5.
• −2x²y² có bậc: 2 + 2 = 4.
• −7xy có bậc: 1 + 1 = 2.
• 1 có bậc: 0.

Bậc lớn nhất là 5.

=> Bậc của đa thức P(x, y) là 5.

Ví dụ về đa thức không

Xác định bậc của P(x) = 3x² − 2x²

Thu gọn: P(x) = x²

=> Bậc của P(x) là 2.

Tuy nhiên, nếu: Q(x) = 3x² − 3x²

Thì: Q(x) = 0

Đây là đa thức không, vì vậy Q(x) không có bậc xác định.

Đây là trường hợp đặc biệt rất dễ bị bỏ qua. Khi các hạng tử có bậc cao nhất triệt tiêu hoàn toàn, cần tiếp tục thu gọn cho đến khi có dạng cuối cùng rồi mới xác định bậc.

Ví dụ minh họa cách xác định bậc của đa thức

4. Một số lưu ý khi tính bậc của đa thức

Khi tính bậc của đa thức, chỉ cần nắm đúng quy tắc và thực hiện theo từng bước là bạn đã có thể hạn chế phần lớn sai sót. Tuy nhiên, một số lỗi tưởng như đơn giản như cộng nhầm hạng tử, bỏ dấu sai hoặc xác định bậc trước khi thu gọn nhiều bạn vẫn còn mắc phải. Dưới đây là những lưu ý quan trọng bạn nên ghi nhớ khi làm các dạng bài này:

Chỉ cộng, trừ những hạng tử đồng dạng

Các hạng tử chỉ được cộng hoặc trừ khi phần biến và số mũ của các biến tương ứng giống nhau.

Ví dụ: 

• 3x² + 2x² = 5x² là phép tính đúng vì hai hạng tử đồng dạng.
• Trong khi đó 3x² + 2x không thể gộp thành 5x³. Hai hạng tử này không đồng dạng vì số mũ của x khác nhau.

Lưu ý: Khi thu gọn đa thức, không được cộng số mũ của biến. Số mũ chỉ được cộng khi tính bậc của một hạng tử nhiều biến.

Phải thu gọn đa thức trước khi xác định bậc

Đây là bước rất quan trọng nhưng lại dễ bị bỏ qua. Nếu đa thức có các hạng tử đồng dạng, cần thu gọn trước rồi mới tìm hạng tử có bậc cao nhất.

Ví dụ: Cho P(x) = 4x⁵ − 2x³ − 4x⁵ + x² + 1

Sau khi thu gọn: P(x) = −2x³ + x² + 1

Do đó, bậc của đa thức là 3, không phải 5.

Không nhầm bậc của hạng tử với số mũ của từng biến

Đối với hạng tử có nhiều biến, bậc của đa thức được tính bằng tổng số mũ của tất cả các biến.

Ví dụ: 

• x²y³ có bậc: 2 + 3 = 5 chứ không phải 2 hoặc 3.
• 3x²yz⁴ có bậc: 2 + 1 + 4 = 7 chứ không phải 1, 2 hoặc 4

Vì vậy, khi gặp đa thức nhiều biến, hãy kiểm tra lần lượt số mũ của từng biến rồi cộng lại để tránh bỏ sót.

Cẩn thận khi bỏ ngoặc và đổi dấu

Khi thực hiện phép trừ đa thức, bạn cần đặc biệt chú ý dấu của từng hạng tử trong ngoặc.

Ví dụ: P(x) = 5x³ − (2x³ − 3x + 1)

Bỏ ngoặc: P(x) = 5x³ − 2x³ + 3x − 1

Sau đó thu gọn: P(x) = 3x³ + 3x − 1

=> Bậc của P(x) là 3.

Một dấu “−” bị bỏ sót có thể làm thay đổi hoàn toàn đa thức sau khi thu gọn, dẫn đến việc sai kết quả.

Không nhầm đa thức không với đa thức bậc 0

Hằng số khác 0 như 5, −3, 10 là các đa thức có bậc 0.

Tuy nhiên, đa thức 0 không có bậc xác định.

Ví dụ: P(x) = 7 − 7 = 0

Sau khi thu gọn, P(x) trở thành đa thức không. 

Vì vậy, không kết luận P(x) có bậc 0.

Kiểm tra lại kết quả sau khi tìm bậc của đa thức

Sau khi tìm được bậc của đa thức, bạn nên kiểm tra nhanh:

• Đa thức đã được thu gọn chưa?
• Các hạng tử đồng dạng đã được xử lý đúng chưa?
• Có hạng tử nào bị triệt tiêu hoàn toàn không?
• Nếu là đa thức nhiều biến, đã cộng tất cả số mũ trong từng hạng tử chưa?
• Đa thức sau cùng có bằng 0 hay không?

Một số lưu ý khi tính bậc của đa thức

Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã hiểu rõ bậc của đa thức là gì và nắm được cách xác định bậc đa thức một cách chính xác. Chỉ cần ghi nhớ nguyên tắc thu gọn đa thức, xác định bậc từng hạng tử và chọn bậc lớn nhất, bạn sẽ dễ dàng xử lý các bài toán về đa thức. Đừng quên chú ý các trường hợp đặc biệt trước khi đưa ra kết luận để tránh những sai sót đáng tiếc khi làm bài bạn nhé.

Nguồn tham khảo:

• Trường THCS Lý Thánh Tông – Toán 7: Đa thức: https://thcslythanhtong.hcm.edu.vn/to-toan/toan-7-da-thuc/ct/60174/118424
• Chuyên đề Khai phóng năng lực môn Toán 8, phần Biểu thức đại số – Đơn thức và đa thức nhiều biến: https://ez.edu.vn/wp-content/uploads/2024/07/chuyen-de-khai-phong-nang-luc-mon-toan-8.pdf