Tần số tích lũy là gì? Cách tính và ví dụ minh họa chi tiết

Tần số tích lũy cho biết có bao nhiêu giá trị nhỏ hơn hoặc bằng một mốc cho trước trong bảng số liệu. Đây cũng là bước quan trọng để tìm trung vị và tứ phân vị. Trong bài viết dưới đây, Luận Văn 1080 sẽ giúp bạn hiểu đúng và nắm được cách tính tần số này chỉ trong vài bước. Cùng theo dõi nhé!

1. Tần số tích lũy là gì?

Khi làm việc với một bảng số liệu, ngoài việc biết mỗi giá trị xuất hiện bao nhiêu lần, ta cần biết thêm có tổng cộng bao nhiêu quan sát nằm dưới hoặc bằng một mốc nào đó? Tần số tích lũy sẽ giúp bạn trả lời câu hỏi này. 

1.1. Định nghĩa tần số tích lũy trong thống kê

Tần số tích lũy (Cumulative Frequency) là tổng số lần xuất hiện của một giá trị cộng với tất cả các giá trị nhỏ hơn nó.

Hãy hình dung việc bỏ tiền vào heo đất: mỗi ngày bạn bỏ thêm một ít, và số tiền trong heo luôn là tổng của tất cả những ngày trước cộng lại. Tần số tích lũy cũng vậy, đi từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất, ta cứ cộng dồn dần lên.

Ví dụ: Điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh:

Vậy:

• Tần số tích lũy ở điểm 6 là 10 → có 10 bạn được từ 6 điểm trở xuống.
• Tần số tích lũy ở điểm 7 là 20 → có 20 bạn được từ 7 điểm trở xuống.
• Dòng cuối cùng là 40, đúng bằng sĩ số lớp. Nếu con số cuối không bằng tổng số học sinh, chắc chắn bạn đã cộng sai ở đâu đó.

Lưu ý: Luôn sắp xếp các giá trị từ nhỏ đến lớn trước khi tìm tần số tích lũy.

1.2. Phân biệt tần số tích lũy và tần suất tích lũy

Hai khái niệm này có cùng cách “cộng dồn” nhưng khác nhau về đơn vị và mục đích sử dụng:

• Tần số tích lũy cộng dồn số lần xuất hiện, nên kết quả là một số đếm (học sinh, sản phẩm, ngày…).
• Tần suất tích lũy (còn gọi là tần số tương đối tích lũy, Cumulative Relative Frequency) cộng dồn tỉ lệ phần trăm, nên kết quả là một tỉ lệ từ 0% đến 100%.

Phân biệt tần số tích lũy và tần suất tích lũy

Lưu ý: Do làm tròn số, giá trị cuối cùng của tần suất tích lũy đôi khi không đúng bằng 100%. Đây là sai số bình thường, không phải lỗi tính toán.

Có thể bạn quan tâm: Cỡ mẫu

2. Công thức tính tần số tích lũy

Ngày nay, Excel hay các phần mềm thống kê có thể tính tần số tích lũy chỉ bằng vài cú nhấp chuột. Dù vậy, khi tự tay tính, bạn sẽ hiểu con số đó đến từ đâu và giải thích kết quả tự tin hơn. 

2.1. Công thức tổng quát tính tần số tích lũy

Giả sử dữ liệu có m giá trị (hoặc m nhóm) đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, với tần số lần lượt là n₁, n₂, …, nₘ và cỡ mẫu là n.

Có hai cách tính, cho cùng một kết quả:

Cách 1: Cộng dồn từng bước (dễ dùng nhất khi lập bảng)

• cfₖ = cfₖ₋₁ + nₖ, với quy ước cf₀ = 0 (tức là cf₁ = n₁)

• Tần số tích lũy của dòng hiện tại = tần số tích lũy của dòng ngay trên + tần số của dòng hiện tại.

Cách 2: Khai triển (dùng khi cần tính nhanh một dòng bất kỳ)

• cfₖ = n₁ + n₂ + … + nₖ

• Cộng tất cả tần số từ dòng đầu tiên đến dòng đang xét.

Mẹo: Với bảng nhiều dòng, nên dùng Cách 1, vì mỗi dòng chỉ cần một phép cộng. Cách 2 dễ sai khi phải cộng một dãy dài.

2.2. Cách tính tần số tích lũy cho dữ liệu rời rạc (không ghép nhóm)

Dữ liệu rời rạc là dữ liệu chỉ nhận một số giá trị cụ thể, tách biệt nhau, thường là số nguyên: số con trong gia đình, số lỗi chính tả, điểm kiểm tra làm tròn… Mỗi giá trị chiếm một dòng trong bảng.

Cách thực hiện:

• Liệt kê các giá trị khác nhau có trong tập dữ liệu.
• Sắp xếp các giá trị từ nhỏ đến lớn. Đây là bước bắt buộc. Nếu thứ tự sai, tần số tích lũy sẽ mất ý nghĩa “nhỏ hơn hoặc bằng”.
• Đếm tần số nₖ, tức là số lần mỗi giá trị xuất hiện.
• Cộng dồn theo công thức cfₖ = cfₖ₋₁ + nₖ, đi từ dòng đầu xuống dòng cuối.

Cách đọc kết quả: Với dữ liệu rời rạc, cfₖ cho biết số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng giá trị xₖ.

Cách tính tần số tích lũy cho dữ liệu rời rạc (không ghép nhóm)

2.3. Cách tính tần số tích lũy cho dữ liệu ghép nhóm

Khi dữ liệu có nhiều giá trị khác nhau (chiều cao, cân nặng, thời gian, thu nhập…), liệt kê từng giá trị sẽ rất dài. Lúc này, người ta gộp dữ liệu thành các nhóm (khoảng), ví dụ [150; 155), [155; 160)… Cách tính tần số tích lũy vẫn là cộng dồn, nhưng cách đọc kết quả thay đổi.

Cách thực hiện:

• Xác định tần số nₖ của từng nhóm: đếm số quan sát rơi vào mỗi khoảng.
• Nhóm đầu tiên: cf₁ = n₁.
• Các nhóm tiếp theo: cfₖ = cfₖ₋₁ + nₖ.

Cách đọc kết quả: Với nhóm [a; b), cfₖ cho biết số quan sát nhỏ hơn đầu mút phải b của nhóm đó. Ví dụ, nếu nhóm [155; 160) có cf = 17, nghĩa là có 17 người cao dưới 160 cm, không phải “cao 160 cm trở xuống”.

Lưu ý quan trọng:

• Luôn kiểm tra dòng cuối: cfₘ phải bằng cỡ mẫu n. Đây là cách nhanh nhất để phát hiện sai sót.
• Không nhầm tần số với tần số tích lũy: nₖ là số quan sát trong nhóm k, còn cfₖ là số quan sát từ nhóm đầu đến hết nhóm k.
• Chú ý đầu mút của nhóm: Cần biết rõ một giá trị nằm đúng ranh giới (ví dụ 160 cm) thuộc nhóm nào để đọc đúng kết quả. Khi vẽ biểu đồ tần số tích lũy (đường ogive), mỗi giá trị cf được đặt tại đầu mút phải (cận trên) của nhóm tương ứng.

3. Ví dụ minh họa cách tính tần số tích lũy

Dưới đây là 3 ví dụ minh họa cách tính tần số tích lũy theo từng trường hợp:

Ví dụ 1: Dữ liệu rời rạc

Đề bài: Khảo sát số lần đến thư viện trong một tháng của 30 sinh viên, thu được kết quả sau. Lập bảng tần số tích lũy và tần suất tích lũy.

Lời giải: Các giá trị đã được sắp xếp tăng dần. Ta cộng dồn từng dòng:

Nhận xét:

• Có 17 sinh viên (khoảng 56,67%) đến thư viện không quá 2 lần trong tháng.
• Có 30 − 24 = 6 sinh viên đến thư viện từ 4 lần trở lên. 

Đây là một mẹo hay: lấy cỡ mẫu trừ đi tần số tích lũy sẽ biết số quan sát lớn hơn một mốc.

Ví dụ minh họa cách tính tần số tích lũy

Ví dụ 2: Dữ liệu ghép nhóm

Đề bài: Chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11 được ghép nhóm như bảng dưới. Lập bảng tần số tích lũy và cho biết có bao nhiêu học sinh cao dưới 165 cm.

Lời giải: 

Nhận xét:

• Tần số tích lũy của nhóm [160; 165) là 35, nghĩa là có 35 học sinh (70%) cao dưới 165 cm.
• Liên hệ với trung vị: Nửa cỡ mẫu là 50 : 2 = 25. Nhóm đầu tiên có cf ≥ 25 là [160; 165), nên trung vị nằm trong nhóm này. 

Đây là ứng dụng quan trọng nhất của tần số tích lũy, sẽ được dùng để tính trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ví dụ 3: Tìm tần số từ tần số tích lũy

Đề bài: Thời gian tự học mỗi ngày (giờ) của 40 học sinh được cho dưới dạng tần số tích lũy. Hãy tìm tần số của từng nhóm.

Lời giải: Vì cfₖ = cfₖ₋₁ + nₖ, suy ra nₖ = cfₖ − cfₖ₋₁.

Nhận xét: Nhóm [2; 3) có tần số lớn nhất (12 học sinh), tức là phần đông học sinh tự học từ 2 đến dưới 3 giờ mỗi ngày. 

Có thể bạn quan tâm: PCA

4.  Cách tính tần số tích lũy trong Excel

Với vài chục quan sát, tính tần số tích lũy bằng tay vẫn khá nhanh. Nhưng khi dữ liệu lên tới hàng trăm, hàng nghìn dòng, Excel là trợ thủ đắc lực giúp bạn vừa tiết kiệm thời gian vừa hạn chế sai sót. 

4.1. Dùng hàm SUM cộng dồn

Cách này phù hợp khi bạn đã có bảng tần số và chỉ cần thêm cột tần số tích lũy. Cách thực hiện rất đơn giản: tại mỗi dòng, cộng tất cả tần số từ dòng đầu tiên đến dòng hiện tại.

Lấy lại số liệu ở Ví dụ 1 (số lần đến thư viện của 30 sinh viên), bảng tính được bố trí như ảnh sau:

Dùng hàm SUM cộng dồn

Các bước thực hiện:

• Sắp xếp cột A tăng dần. Chọn vùng dữ liệu, vào Data → Sort A to Z. Bỏ qua bước này, tần số tích lũy sẽ sai ý nghĩa.
• Nhập công thức tại ô C2: =SUM($B$2:B2)
• Kéo công thức xuống ô C7. Excel sẽ tự động điền lần lượt =SUM($B$2:B3), =SUM($B$2:B4)… và cho kết quả 3, 8, 17, 24, 28, 30.
• Tính tần suất tích lũy tại ô D2: =C2/$C$7
• Kéo xuống ô D7, sau đó định dạng cột D sang Percent (%).

4.2. Dùng hàm FREQUENCY

Khi bạn chỉ có dữ liệu thô (ví dụ danh sách chiều cao của 50 học sinh), hàm FREQUENCY sẽ giúp đếm tần số cho từng nhóm chỉ bằng một công thức. Sau đó, bạn dùng lại cách SUM ở mục 4.1 để cộng dồn.

Cú pháp: =FREQUENCY(data_array, bins_array)

• data_array: vùng chứa dữ liệu gốc.
• bins_array: vùng chứa cận trên của từng nhóm.

Ví dụ: Chiều cao (cm, làm tròn đến số nguyên) của 50 học sinh nằm ở vùng A2:A51. Cần ghép thành 5 nhóm [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175).

Các bước thực hiện:

• Nhập cận trên của các nhóm vào cột C (C2:C6): 154, 159, 164, 169, 174.
• Nhập công thức đếm tần số tại ô D2: =FREQUENCY(A2:A51, C2:C6)
• Tính tần số tích lũy tại ô E2: =SUM($D$2:D2)
• Kéo xuống đến hết các nhóm.

Lưu ý:

• Kết quả luôn dư một ô: FREQUENCY trả về số ô nhiều hơn số cận trên một ô. Ô cuối dùng để đếm các giá trị lớn hơn cận trên cuối cùng. Nếu các nhóm đã bao trọn dữ liệu, ô này bằng 0. Nếu khác 0, nghĩa là có giá trị nằm ngoài các nhóm bạn đặt ra.
• Chọn cận trên cho đúng kiểu nhóm: FREQUENCY đếm các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng cận trên. Với nhóm nửa khoảng [150; 155) như trong sách giáo khoa, giá trị 155 không thuộc nhóm này. Vì vậy, nếu dữ liệu là số nguyên, cận trên cần nhập là 154 thay vì 155. Nếu dữ liệu có số thập phân, hãy nhập giá trị sát dưới đầu mút phải, ví dụ 154,99.
• FREQUENCY bỏ qua ô trống và ô chứa chữ, nên hãy kiểm tra tổng tần số có khớp với số quan sát hay không.

Mẹo tính thẳng tần số tích lũy: Nếu chỉ cần cột tần số tích lũy mà không cần cột tần số, bạn có thể dùng COUNTIF với đầu mút phải của mỗi nhóm. Ví dụ, nhập các đầu mút phải 155, 160, 165… vào cột G rồi dùng công thức:

=COUNTIF($A$2:$A$51, “<“&G2)

Công thức này đếm số học sinh cao dưới mốc ở ô G2, đúng với cách đọc tần số tích lũy của nhóm [a; b).

5. Cách tính tần số tích lũy trong SPSS

SPSS tự động lập bảng tần số kèm cột tần suất tích lũy, đồng thời tính luôn trung vị và tứ phân vị. Bạn không cần nhập công thức nào, chỉ cần thao tác đúng và đọc đúng kết quả.

Các bước thực hiện:

• Vào Analyze → Descriptive Statistics → Frequencies…
• Chuyển biến cần phân tích sang khung Variable(s), đảm bảo đã tích Display frequency tables.
• (Tùy chọn) Nhấn Statistics… → tích Quartiles để lấy Q1, Q2, Q3.
• (Tùy chọn) Nhấn Charts… → chọn Histograms, tích Show normal curve on histogram.
• Nhấn OK.

Giả sử khảo sát 32 sinh viên, trong đó 2 người bỏ trống câu hỏi. SPSS trả về bảng như sau:

Cách tính tần số tích lũy trong SPSS

Trong đó:

• Frequency: tần số.
• Percent: tần suất, tính cả người bỏ trống.
• Valid Percent: tần suất, chỉ tính người đã trả lời.
• Cumulative Percent: tần suất tích lũy, cộng dồn từ cột Valid Percent.

Lưu ý:

• SPSS không có cột tần số tích lũy dạng số đếm. Muốn có, hãy lấy Cumulative Percent × số quan sát hợp lệ ÷ 100. Ví dụ: 56,7% × 30 ÷ 100 ≈ 17 sinh viên đến thư viện không quá 2 lần.
• Cột Cumulative Percent chỉ có ý nghĩa với biến thứ bậc hoặc định lượng, không dùng cho biến định danh như giới tính.
• Tìm nhanh trung vị: giá trị đầu tiên có Cumulative Percent ≥ 50% chính là trung vị (ở đây là 2). Tương tự, mốc 25% cho Q1 = 1 và mốc 75% cho Q3 = 3.
• Với dữ liệu ghép nhóm: dùng Transform → Visual Binning để chia nhóm trước, rồi mới chạy Frequencies.

Có thể bạn quan tâm: Nhân tố trong phân tích dữ liệu

6. Ứng dụng của tần số tích lũy trong nghiên cứu khoa học, luận văn

Trong một bài nghiên cứu hay luận văn, tần số tích lũy hiếm khi đứng riêng một mình. Nó thường là bước trung gian giúp người nghiên cứu mô tả mẫu, xác định các mốc quan trọng và kiểm tra giả định trước khi đi vào phân tích chuyên sâu. Dưới đây là 6 ứng dụng phổ biến nhất của tần số tích lũy:

• Mô tả đặc điểm mẫu nghiên cứu: Ở chương kết quả, bảng thống kê mô tả thường kèm cột tần suất tích lũy để người đọc nắm nhanh cấu trúc mẫu. Ví dụ, thay vì liệt kê từng mức thu nhập, bạn có thể viết: “72% người tham gia khảo sát có thu nhập dưới 15 triệu đồng/tháng”. Cách diễn đạt này ngắn gọn, dễ hiểu và thường gặp trong phần mô tả mẫu của luận văn.
• Xác định trung vị, tứ phân vị và phân vị: Tần số tích lũy là “bản đồ” để tìm vị trí của trung vị (mốc 50%), Q1 (25%), Q3 (75%) hay bất kỳ phân vị nào. Các số đo này đặc biệt hữu ích với dữ liệu bị lệch như thu nhập, thời gian chờ hay chi phí, vì chúng ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với giá trị trung bình.
• Phân nhóm đối tượng theo ngưỡng: Nhiều luận văn cần chia mẫu thành các nhóm như thấp, trung bình, cao để so sánh. Dựa vào tần suất tích lũy, bạn có thể dùng Q1 và Q3 làm điểm cắt: 25% thấp nhất là nhóm “thấp”, 25% cao nhất là nhóm “cao”, phần còn lại là nhóm “trung bình”. Cách chia này khách quan hơn so với việc tự đặt ngưỡng theo cảm tính.
• Vẽ đường tần số tích lũy (ogive) để so sánh phân phối: Đường ogive biểu diễn tần suất tích lũy theo cận trên của từng nhóm, cho dạng đường cong hình chữ S. Khi đặt hai đường ogive của hai nhóm (ví dụ nam và nữ, trước và sau can thiệp) trên cùng một biểu đồ, bạn thấy ngay nhóm nào có xu hướng đạt giá trị cao hơn. Đường nằm bên phải là nhóm có giá trị lớn hơn.
• Kiểm tra phân phối của dữ liệu: Nhiều phép kiểm định tham số (t-test, ANOVA, hồi quy) yêu cầu dữ liệu xấp xỉ phân phối chuẩn. Kiểm định Kolmogorov-Smirnov, một phép kiểm định phổ biến trong SPSS, hoạt động dựa trên chính ý tưởng tần suất tích lũy: nó so sánh đường tần suất tích lũy của mẫu với đường tích lũy của phân phối lý thuyết. Khoảng cách lớn nhất giữa hai đường càng lớn, dữ liệu càng lệch khỏi phân phối giả định.
• Phân tích Pareto (quy tắc 80/20): Trong các đề tài kinh tế, quản trị hay quản lý chất lượng, tần suất tích lũy là nền tảng của biểu đồ Pareto. Các nguyên nhân (lỗi sản phẩm, lý do khách hàng phàn nàn…) được sắp xếp từ nhiều đến ít, kèm một đường tần suất tích lũy. Nhìn vào điểm đường này chạm mốc khoảng 80%, bạn xác định được nhóm nhỏ nguyên nhân gây ra phần lớn vấn đề, từ đó đưa ra đề xuất ưu tiên rõ ràng cho chương giải pháp.

Ứng dụng của tần số tích lũy trong nghiên cứu khoa học, luận văn

7. Lỗi thường gặp khi tính tần số tích lũy và cách khắc phục

Tần số tích lũy chỉ là phép cộng dồn, nhưng một bước sai nhỏ cũng có thể làm lệch trung vị, tứ phân vị và cả phần diễn giải. Dưới đây là 6 lỗi phổ biến nhất khi tính tần số tích lũy và cách tránh.

Lỗi 1: Nhầm tần số với tần số tích lũy

• Biểu hiện: Điểm 7 có tần số 10, rồi kết luận “10 học sinh đạt từ 7 điểm trở xuống” (đúng ra là 20).
• Khắc phục: Tần số trả lời câu hỏi “bao nhiêu quan sát bằng giá trị này”, còn tần số tích lũy trả lời “bao nhiêu quan sát nhỏ hơn hoặc bằng”. Luôn tách thành hai cột riêng.

Lỗi 2: Không sắp xếp dữ liệu tăng dần

• Biểu hiện: Cộng dồn theo thứ tự nhập liệu, khiến kết quả mất ý nghĩa “nhỏ hơn hoặc bằng”.
• Khắc phục: Sắp xếp trước, cộng dồn sau. Riêng biểu đồ Pareto là ngoại lệ, vì các nhóm được xếp theo tần số giảm dần.

Lỗi 3: Đọc sai đầu mút nhóm trong dữ liệu ghép nhóm

• Biểu hiện: Nhóm [155; 160) có cf = 17, lại diễn giải thành “17 người cao từ 160 cm trở xuống” thay vì “dưới 160 cm”. Lỗi này cũng dễ dẫn đến lấy nhầm đầu mút hoặc độ dài nhóm khi tính trung vị.
• Khắc phục: Xác định rõ dạng nửa khoảng [a; b) và kiểm tra lại các thông số của đúng nhóm chứa trung vị.

Lỗi 4: Dòng cuối không bằng cỡ mẫu

• Biểu hiện: Mẫu có 50 quan sát nhưng tần số tích lũy cuối cùng chỉ là 48.
• Khắc phục: Kiểm tra xem có bỏ sót nhóm đầu hoặc cuối, giá trị nằm ngoài các nhóm, hay ô trống bị bỏ qua khi đếm không.

Lỗi 5: Dùng nhầm cột phần trăm khi có dữ liệu thiếu

• Biểu hiện: Trong SPSS, báo cáo theo cột Percent dù có người bỏ trống câu hỏi, khiến tỉ lệ bị kéo thấp.
• Khắc phục: Dùng Valid Percent và Cumulative Percent, vì hai cột này chỉ tính trên câu trả lời hợp lệ.

Lỗi 6: Tính tần số tích lũy cho biến định danh

• Biểu hiện: Cộng dồn cho giới tính, ngành học, quốc tịch… Các biến này không có quan hệ “nhỏ hơn” hay “lớn hơn”, nên kết quả vô nghĩa.
• Khắc phục: Chỉ dùng cho biến thứ bậc (mức độ hài lòng, trình độ) và biến định lượng (điểm, thu nhập, chiều cao).

Lỗi thường gặp khi tính tần số tích lũy và cách khắc phục

Hy vọng qua bài viết, bạn đã hiểu rõ tần số tích lũy là gì, nắm được công thức cộng dồn, biết cách tính cho cả dữ liệu rời rạc lẫn ghép nhóm, và tự tin thực hiện trên Excel, SPSS. Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc xử lý số liệu, chạy SPSS hoặc hoàn thiện đề tài, hãy liên hệ ngay dịch vụ viết thuê nghiên cứu khoa học tại Luận Văn 1080 để được đội ngũ chuyên môn của chúng tôi hỗ trợ tận tình nhé!

Nguồn tài liệu:

1. Cumulative Frequency – Hawkes Learning: https://econtent.hawkeslearning.com/res/assets/basic-html/page-22.html#
2. Cumulative Frequency – Cuemath: https://www.cuemath.com/data/cumulative-frequency/
3. Cumulative Relative Frequency – Statistics by Jim: https://statisticsbyjim.com/glossary/cumulative-relative-frequency/
4. Calculate a running total in Excel – Microsoft Support: https://support.microsoft.com/en-us/excel/calculate-a-running-total-in-excel