Kurtosis là gì? Hệ số quan trọng trong thống kê

Kurtosis là gì và vì sao nhà phân tích dữ liệu không thể bỏ qua hệ số này? Trong bài viết này, Luận Văn 1080 sẽ giải thích cho bạn khái niệm, công thức đến cách đọc kết quả và ứng dụng Kurtosis trong thống kê, tài chính. Cùng theo dõi nhé!

1. Kurtosis là gì trong thống kê?

Kurtosis (độ nhọn) là hệ số thống kê mô tả hình dạng phần đuôi của một phân phối xác suất. Nó cho biết dữ liệu có nhiều hay ít giá trị cực đoan (ngoại lai) so với phân phối chuẩn. 

Kurtosis thường được nhắc đến cùng độ lệch (skewness). Hai hệ số này đo hai khía cạnh khác nhau của hình dạng phân phối: độ lệch đo mức độ bất đối xứng của phân phối, còn Kurtosis đo độ nặng của phần đuôi.

Kurtosis bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp κυρτός (kyrtos hoặc kurtos), nghĩa là “cong, vòm”. Thuật ngữ này chỉ thực sự được đặt ra trong công trình năm 1905 của Karl Pearson, cũng là lần đầu hệ số β₂ được so sánh với giá trị 3 của phân phối chuẩn và dùng làm thước đo Kurtosis. 

Pearson cũng là người đặt tên cho ba dạng phân phối theo Kurtosis:

• Platykurtic (độ cong rộng)
• Leptokurtic (độ cong hẹp)
• Mesokurtic (độ cong trung gian)

Kurtosis là gì trong thống kê?

Bài viết liên quan: Skewness là gì

2. Các loại kurtosis (độ nhọn) thường gặp

Dựa vào giá trị Kurtosis, các nhà thống kê chia phân phối thành 3 loại, với mốc so sánh là phân phối chuẩn (Kurtosis = 3).

Để đọc kết quả dễ hơn, người ta thường dùng độ nhọn dư (Excess kurtosis) = Kurtosis − 3, đưa phân phối chuẩn về mốc 0.

Nhờ vậy, việc đọc kết quả Kurtosis trở nên rất trực quan:

• Excess kurtosis = 0: phần đuôi giống phân phối chuẩn.
• Excess kurtosis > 0: phần đuôi dày hơn phân phối chuẩn.
• Excess kurtosis < 0: phần đuôi mỏng hơn phân phối chuẩn.

Mesokurtic – Mốc chuẩn để so sánh

Mesokurtic (Kurtosis = 3, excess kurtosis = 0) là phân phối có độ dày phần đuôi tương đương phân phối chuẩn. Phân phối chuẩn chính là ví dụ tiêu biểu nhất. Một tập dữ liệu thực tế được xem là mesokurtic khi Kurtosis của nó bằng hoặc rất gần 3.

Tiền tố “meso-” nghĩa là “ở giữa”. Đây là nhóm trung gian giữa hai thái cực còn lại.

Lưu ý: Kurtosis xấp xỉ 3 chưa đủ để kết luận dữ liệu tuân theo phân phối chuẩn. Bạn vẫn cần xét thêm độ lệch (skewness), biểu đồ Q-Q và các kiểm định chuẩn như Shapiro–Wilk.

Leptokurtic – Đuôi dày

Leptokurtic (Kurtosis > 3, excess kurtosis > 0) là phân phối có phần đuôi dày hơn phân phối chuẩn. Nói cách khác, các giá trị cực đoan xuất hiện thường xuyên hơn mức bình thường.

Đặc điểm nhận diện:

• Có nhiều quan sát nằm rất xa giá trị trung bình.
• Dễ xuất hiện giá trị ngoại lai.
• Rủi ro xảy ra sự kiện hiếm nhưng gây tác động lớn cao hơn.

Ví dụ:

• Phân phối t (Student): phân phối t với 5 bậc tự do có excess kurtosis bằng 6. Bậc tự do càng lớn, phân phối t càng tiến gần phân phối chuẩn.
• Phân phối Laplace (hàm mũ kép): excess kurtosis bằng 3.
• Phân phối logistic: excess kurtosis bằng 1,2.

Platykurtic – Đuôi mỏng

Platykurtic (Kurtosis < 3, excess kurtosis < 0) là phân phối có phần đuôi mỏng hơn phân phối chuẩn. Dữ liệu thuộc nhóm này ít khi xuất hiện giá trị cực đoan.

Đặc điểm nhận diện:

• Rất ít hoặc gần như không có giá trị ngoại lai.
• Các giá trị trải tương đối đều trong một khoảng giới hạn.
• Khả năng xảy ra sự kiện cực đoan thấp.

Ví dụ: Theo NIST, dữ liệu có Kurtosis thấp thường có đuôi nhẹ hoặc không có ngoại lai, và phân phối đều là trường hợp cực biên. Phân phối đều có excess kurtosis bằng −1,2. Một ví dụ dễ hình dung là kết quả tung một con xúc xắc cân đối: mỗi mặt từ 1 đến 6 có xác suất như nhau, nên không tồn tại giá trị nào bất thường.

Các loại kurtosis (độ nhọn) thường gặp

3. Công thức tính hệ số kurtosis

Kurtosis được tính từ mômen trung tâm bậc 4, tức là trung bình lũy thừa bậc 4 của các độ lệch so với giá trị trung bình, sau đó chuẩn hóa theo độ lệch chuẩn. Tùy bạn đang làm việc với tổng thể hay mẫu, sẽ có ba công thức thường dùng.

Công thức Kurtosis của tổng thể

• β₂ = μ₄ / σ⁴

• Excess kurtosis: γ₂ = β₂ − 3

Trong đó:

• μ₄ = E[(X − μ)⁴]: mômen trung tâm bậc 4
• σ⁴: bình phương của phương sai
• μ: trung bình tổng thể

Pearson ký hiệu mômen bậc 4 chuẩn hóa quanh trung bình là β₂, nhận thấy β₂ = 3 với phân phối chuẩn, và định nghĩa mức độ Kurtosis là β₂ − 3.

Công thức Kurtosis mẫu (cổ điển)

Khi chỉ có dữ liệu mẫu gồm n quan sát, ta thay tham số tổng thể bằng giá trị ước lượng từ mẫu:

g₂ = m₄ / m₂² − 3

Trong đó:

• m₄ = (1/n) Σ(xᵢ − x̄)⁴
• m₂ = (1/n) Σ(xᵢ − x̄)²
• x̄: trung bình mẫu

Công thức Kurtosis mẫu hiệu chỉnh (dùng trong Excel, SPSS, SAS)

Với mẫu nhỏ, g₂ bị chệch (bias). Vì vậy, nhiều phần mềm dùng phiên bản đã hiệu chỉnh:

Công thức tính hệ số kurtosis

Mỗi phần mềm lại dùng một công thức khác nhau, nên cùng một bộ dữ liệu có thể cho ra các kết quả khác nhau:

• g₂: Stata
• G₂: SAS, SPSS, Excel (hàm KURT)
• b₂: Minitab, BMDP

Bài viết liên quan: Trung bình mẫu

4. Cách tính kurtosis bằng Excel, SPSS, Python

Khi làm việc với dữ liệu thực tế, bạn nên dùng phần mềm để tính Kurtosis nhanh và chính xác hơn. Sau đây Luận Văn 1080 sẽ hướng dẫn bạn cách tính Kurtosis bằng 3 công cụ phổ biến nhất là Excel, SPSS và Python. Cả ba đều dùng chung bộ dữ liệu mẫu ở mục 3: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, để bạn dễ đối chiếu kết quả.

Lưu ý: Mỗi công cụ có thể dùng một công thức khác nhau. Vì vậy, cùng một bộ dữ liệu có thể cho ra các giá trị Kurtosis khác nhau. 

4.1. Tính kurtosis trong Excel

Excel có sẵn hàm KURT để tính Kurtosis.

Cú pháp: =KURT(number1, [number2], …)

Các bước thực hiện:

• Nhập dữ liệu vào một cột, ví dụ ô A2:A9.
• Chọn một ô trống và gõ công thức =KURT(A2:A9).
• Nhấn Enter. Kết quả là 0,9406.

Cách đọc kết quả: Hàm KURT trả về excess kurtosis đã hiệu chỉnh (G₂). Vì vậy, kết quả bằng 0 tương ứng với phân phối chuẩn, và bạn không cần trừ thêm 3.

Lưu ý: Nếu dữ liệu có ít hơn 4 điểm hoặc độ lệch chuẩn mẫu bằng 0, hàm KURT trả về lỗi #DIV/0!.

4.2. Tính kurtosis trong SPSS

Các bước thực hiện:

• Trên thanh menu, chọn Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives.
• Chuyển các biến cần kiểm tra sang ô Variable(s).
• Nhấn Options, tích chọn Kurtosis (có thể chọn thêm Skewness).
• Nhấn Continue, sau đó nhấn OK để xuất kết quả ra cửa sổ Output.

Ngoài Descriptives, bạn cũng có thể lấy Kurtosis qua Analyze → Descriptive Statistics → Frequencies hoặc Explore.

Cách đọc bảng Output: Khi chọn tùy chọn Kurtosis, SPSS trả về cả giá trị Kurtosis lẫn sai số chuẩn của Kurtosis (Std. Error). Với dữ liệu mẫu, bảng Output sẽ cho:

Giống Excel, SPSS báo cáo excess kurtosis. Theo Kim (2013), phần lớn phần mềm thống kê như SPSS cung cấp excess kurtosis, tức là đã trừ 3.

4.3. Tính kurtosis trong Python

Python cho phép tính Kurtosis bằng SciPy, pandas hoặc tự viết hàm theo công thức.

Cách 1: Dùng SciPy

import numpy as np

from scipy.stats import kurtosis

data = np.array([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9])

kurtosis(data)                # -0.21875  (excess kurtosis, chưa hiệu chỉnh)

kurtosis(data, bias=False)    #  0.940625 (đã hiệu chỉnh, giống Excel/SPSS)

kurtosis(data, fisher=False)  #  2.78125  (Kurtosis gốc của Pearson)

Hàm có hai tham số quan trọng:

• fisher: nếu là True thì dùng định nghĩa của Fisher (phân phối chuẩn = 0); nếu là False thì dùng định nghĩa của Pearson (phân phối chuẩn = 3). 
• bias: nếu là False, phép tính sẽ được hiệu chỉnh độ chệch thống kê. 

Mặc định, SciPy dùng fisher=True, bias=True.

Tính kurtosis trong Python

Cách 2: Dùng pandas

import pandas as pd

s = pd.Series([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9])

s.kurt()          # 0.940625

# Tính Kurtosis cho tất cả cột số trong DataFrame

df.select_dtypes(include=”number”).kurtosis()

kurt() và kurtosis() là hai tên gọi của cùng một hàm, dùng được cho cả Series và DataFrame. Hàm này trả về Kurtosis không chệch theo định nghĩa của Fisher (phân phối chuẩn = 0). Vì vậy, kết quả của pandas trùng với Excel và SPSS, nhưng khác với SciPy ở chế độ mặc định.

Cách 3: Tự viết hàm theo công thức

Bạn có thể tự tính excess kurtosis theo công thức mômen:

Kurtosis = (1/n) × Σ [(xᵢ − x̄) / s]⁴ − 3

Trong đó n là số quan sát, xᵢ là từng giá trị dữ liệu, x̄ là trung bình và s là độ lệch chuẩn (chia cho n).

def moment_based_kurtosis(data):

    n = len(data)

    mean = np.mean(data)

    std = np.std(data)  # độ lệch chuẩn tổng thể (ddof=0)

    return (1 / n) * np.sum(((data – mean) / std) ** 4) – 3

moment_based_kurtosis(data)   # -0.21875

Kết quả trùng với scipy.stats.kurtosis() ở chế độ mặc định, vì cả hai cùng dùng công thức g₂.

5. Kurtosis và skewness khác nhau như thế nào?

Kurtosis và Skewness (độ lệch) thường đi cùng nhau trong các bảng thống kê mô tả. Hai chỉ số này đều dùng để mô tả hình dạng của phân phối, điều mà trung bình và độ lệch chuẩn không cho biết. Tuy vậy, mỗi chỉ số trả lời một câu hỏi khác nhau:

• Skewness: Dữ liệu có cân đối hai bên không, hay bị kéo lệch về một phía?
• Kurtosis: Dữ liệu có hay xuất hiện giá trị cực đoan không?

Kurtosis và skewness khác nhau như thế nào?

Bài viết liên quan: Mô hình là gì

6. Ý nghĩa của kurtosis khi phân tích dữ liệu nghiên cứu, khóa luận

Trong khóa luận định lượng, Kurtosis là căn cứ để kiểm tra giả định phân phối chuẩn, phát hiện ngoại lai và chọn phương pháp phân tích phù hợp.

Kiểm tra giả định phân phối chuẩn

Các kiểm định như t-test, ANOVA, tương quan Pearson và hồi quy đều đòi hỏi dữ liệu có phân phối chuẩn. Kurtosis giúp bạn quyết định nên dùng kiểm định tham số hay chuyển sang kiểm định phi tham số (Mann–Whitney, Kruskal–Wallis).

Nếu bỏ qua bước kiểm tra này, sai lầm có thể rất lớn. Theo mô phỏng của Cain và cộng sự, với mức Skewness và Kurtosis thường gặp trong dữ liệu thực, sai lầm loại I có thể lên tới 17% với t-test và 30% với phân tích nhân tố, thay vì mức 5% như mong đợi.

Phát hiện ngoại lai và lỗi nhập liệu

Kurtosis rất nhạy với các giá trị cực đoan. Vì vậy, nếu một biến có Kurtosis cao bất thường, đó thường là dấu hiệu của lỗi nhập liệu (ví dụ gõ “55” thay vì “5” trên thang Likert) hoặc phiếu khảo sát kém chất lượng. Hãy kiểm tra giá trị Min/Max và vẽ boxplot trước khi phân tích tiếp.

Chọn phương pháp ước lượng trong CFA/SEM

Phương pháp ước lượng ML trong AMOS giả định dữ liệu có phân phối chuẩn đa biến. Kurtosis dương làm thống kê kiểm định ML bị thổi phồng và sai lệch sai số chuẩn, khiến kết quả kiểm định mô hình mất hiệu lực. Trong SEM, Kurtosis thường là mối lo ngại lớn hơn Skewness, vì vậy bạn nên kiểm tra thêm hệ số Kurtosis đa biến Mardia trong AMOS.

Ý nghĩa của kurtosis khi phân tích dữ liệu nghiên cứu, khóa luận

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn trả lời trọn vẹn câu hỏi Kurtosis là gì, từ khái niệm, các loại Kurtosis, công thức tính cho đến cách đo bằng Excel, SPSS và Python. Nếu bạn cần hỗ trợ xử lý số liệu, diễn giải kết quả hoặc hoàn thiện bài nghiên cứu của mình, hãy liên hệ dịch vụ viết thuê luận văn tại Luận Văn 1080, nơi đội ngũ chuyên môn của chúng tôi luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn.

Nguồn tài liệu:

1. Kurtosis – Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis
2. Measures of Skewness and Kurtosis – NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35b.htm
3. KURT function – Microsoft Support: https://support.microsoft.com/en-us/excel/functions/kurt-function
4. scipy.stats.kurtosis – SciPy Documentation: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kurtosis.html
5. pandas.Series.kurt – SciPy Documentation: https://pandas.pydata.org/docs/reference/api/pandas.Series.kurt.html