Biến cố phụ thuộc là gì? Công thức, ví dụ minh họa dễ hiểu

Biến cố phụ thuộc là một khái niệm quan trọng trong xác suất, thường gặp trong chương trình Toán THPT và các bài toán thực tế. Tuy vậy, nhiều học sinh vẫn dễ nhầm lẫn khái niệm này với biến cố độc lập khi giải bài tập. Trong bài viết dưới đây, Luận Văn 1080 sẽ giúp bạn hiểu đúng định nghĩa, nắm chắc công thức tính, biết cách nhận biết 2 loại biến cố này và áp dụng thành thạo qua các ví dụ minh họa có lời giải. Cùng theo dõi!

1. Biến cố phụ thuộc là gì?

Biến cố phụ thuộc là hai biến cố mà việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm thay đổi xác suất của biến cố còn lại. Nói cách khác, nếu việc một biến cố xảy ra hay không có ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, thì hai biến cố đó được gọi là phụ thuộc. 

Dấu hiệu: Hai biến cố A và B phụ thuộc khi:

• • P(B|A) ≠ P(B), tức là xác suất của B thay đổi khi biết A đã xảy ra; hoặc

• P(A∩B) ≠ P(A).P(B)

Trong đó, P(B|A) là xác suất để biến cố B xảy ra khi biết biến cố A đã xảy ra, còn gọi là xác suất có điều kiện. 

Ví dụ: Rút ngẫu nhiên lần lượt 2 lá bài từ bộ bài 52 lá, không trả lại lá thứ nhất.

• Gọi A: “Lá thứ nhất là quân Át”, B: “Lá thứ hai là quân Át”.
• Nếu A xảy ra, bộ bài còn 51 lá, trong đó có 3 quân Át, nên P(B|A) = 3/51.
• Nếu A không xảy ra, bộ bài còn 51 lá nhưng vẫn đủ 4 quân Át, nên xác suất để B xảy ra là 4/51.

Biến cố phụ thuộc là gì?

Tìm hiểu thêm: Xác suất thống kê là gì

2. Phân biệt biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập

Để biết hai biến cố là độc lập hay phụ thuộc, bạn chỉ cần trả lời một câu hỏi: “Biết biến cố này đã xảy ra, xác suất của biến cố kia có thay đổi không?” Bảng dưới đây tóm tắt các điểm khác nhau chính của 2 biến cố này:

Theo OpenStax, nếu chưa biết A và B độc lập hay phụ thuộc, hãy giả định chúng là 2 biến cố phụ thuộc cho đến khi chứng minh được điều ngược lại.

Phân biệt biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập

3. Công thức tính xác suất của biến cố phụ thuộc

Khi hai biến cố phụ thuộc, ta không thể nhân trực tiếp P(A) với P(B) như với biến cố độc lập. Xác suất của biến cố sau phải được tính dựa trên thông tin biến cố trước đã xảy ra. Có hai công thức cốt lõi để giải quyết các bài toán này: công thức xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất. 

3.1. Công thức xác suất có điều kiện P(A|B)

Xác suất có điều kiện P(A|B) là xác suất để biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra. Đọc là “xác suất của A với điều kiện B”.

Công thức: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A|B): Xác suất xảy ra A khi biết B đã xảy ra
• P(A ∩ B): Xác suất để A và B cùng xảy ra
• P(B): Xác suất xảy ra biến cố B (điều kiện), phải lớn hơn 0

Dấu hiệu phụ thuộc: Nếu P(A|B) ≠ P(A) thì A và B là hai biến cố phụ thuộc. Ngược lại, nếu A và B độc lập thì P(A|B) = P(A). 

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi:

• A: “Số chấm lớn hơn 3” → A = {4; 5; 6}, P(A) = 3/6 = 1/2
• B: “Số chấm là số chẵn” → B = {2; 4; 6}, P(B) = 3/6 = 1/2

Lời giải:

• A ∩ B = {4; 6} → P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Vì P(A|B) = 2/3 ≠ P(A) = 1/2, biết trước số chấm là số chẵn đã làm tăng khả năng số chấm lớn hơn 3. Do đó, A và B là hai biến cố phụ thuộc.

3.2. Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố phụ thuộc

Từ công thức xác suất có điều kiện, nhân hai vế với P(B), ta được công thức nhân xác suất tổng quát. Công thức này dùng để tính xác suất hai biến cố phụ thuộc cùng xảy ra.

Công thức: P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A) = P(B) . P(A|B)

OpenStax phát biểu quy tắc nhân như sau: nếu A và B là hai biến cố trên cùng một không gian mẫu thì P(A và B) = P(B).P(A|B). Khi hai biến cố độc lập, công thức này trở về dạng quen thuộc: P(A và B) = P(A).P(B).

Các bước áp dụng:

• Bước 1: Xác định biến cố xảy ra trước (A) và biến cố xảy ra sau (B).
• Bước 2: Tính P(A).
• Bước 3: Tính P(B|A), tức xác suất của B sau khi A đã xảy ra. Lưu ý không gian mẫu đã thay đổi.
• Bước 4: Nhân hai kết quả: P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A).

Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố phụ thuộc

Ví dụ: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để cả 2 viên đều màu đỏ.

Lời giải: Gọi A: “Viên thứ nhất màu đỏ”, B: “Viên thứ hai màu đỏ”.

• P(A) = 5/8
• Sau khi lấy 1 viên đỏ, hộp còn 7 viên, trong đó có 4 viên đỏ → P(B|A) = 4/7
• P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A) = 5/8 . 4/7 = 20/56 = 5/14

Vậy xác suất để lấy được 2 viên bi đỏ là 5/14 ≈ 0,357.

Tìm hiểu thêm: Bậc của đa thức

4. Ví dụ minh họa về 2 biến cố phụ thuộc

Cách nhanh nhất để hiểu rõ về biến cố phụ thuộc là tham khảo các ví dụ cụ thể. Dưới đây là các ví dụ về 2 biến cố phụ thuộc mà bạn có thể tham khảo:

Ví dụ 1

Lớp 11A có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bạn làm lớp trưởng và lớp phó. Tính xác suất để cả hai bạn đều là nữ.

Lời giải: Gọi A: “Lớp trưởng là nữ”, B: “Lớp phó là nữ”.

• P(A) = 12/30
• P(B|A) = 11/29 (lớp còn 29 bạn, trong đó có 11 nữ)
• P(A ∩ B) = 12/30 . 11/29 = 22/145

Ví dụ 2

Khảo sát 200 học sinh: có 80 bạn tham gia CLB Toán, trong đó 60 bạn đạt loại Giỏi. Toàn bộ 200 học sinh có 100 bạn đạt loại Giỏi. Gọi A: “Đạt loại Giỏi”, B: “Tham gia CLB Toán”. Hỏi A và B có phụ thuộc không?

Lời giải:

• P(A) = 100/200 = 0,5; P(B) = 80/200 = 0,4
• P(A ∩ B) = 60/200 = 0,3
• P(A) . P(B) = 0,2 ≠ 0,3

Vậy A và B là hai biến cố phụ thuộc.

Ví dụ minh họa về 2 biến cố phụ thuộc

5. Một số dạng bài tập về biến cố phụ thuộc thường gặp trong đề thi

Trong chương trình Toán 12, bài tập về biến cố phụ thuộc thường xoay quanh xác suất có điều kiện, công thức nhân, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Cùng Luận Văn 1080 tìm hiểu về các dạng bài toán biến cố phụ thuộc dưới đây:

Dạng 1: Tính xác suất có điều kiện

Phương pháp: Xác định biến cố điều kiện B, tính P(B) và P(A ∩ B), sau đó áp dụng P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Với bài toán đếm, có thể tính nhanh bằng cách thu hẹp không gian mẫu về B.

Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết tổng số chấm bằng 8, tính xác suất để có ít nhất một con ra mặt 6 chấm.

Lời giải:

• B: “Tổng số chấm bằng 8” = {(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)}, gồm 5 kết quả.
• Trong đó, các kết quả có mặt 6 chấm là (2;6) và (6;2), gồm 2 kết quả.
• P(A|B) = 2/5

Dạng 2: Tính xác suất các biến cố phụ thuộc cùng xảy ra

Phương pháp: Áp dụng công thức nhân tổng quát, mở rộng cho nhiều biến cố: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B|A) . P(C|A ∩ B)

Ví dụ: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 viên, không hoàn lại. Tính xác suất để cả 3 viên đều trắng.

Lời giải: P = 6/10 . 5/9 . 4/8 = 120/720 = 1/6

Dạng 3: Xác định hai biến cố độc lập hay phụ thuộc

Phương pháp: Tính P(A ∩ B) rồi so sánh với P(A) . P(B). Nếu hai giá trị khác nhau thì A và B phụ thuộc.

Ví dụ: Cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,5 và P(A ∪ B) = 0,6. Hỏi A và B có độc lập không?

Lời giải:

• P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,6 = 0,3
• P(A) . P(B) = 0,4 . 0,5 = 0,2 ≠ 0,3

Vậy A và B là hai biến cố phụ thuộc.

Dạng 4: Công thức xác suất toàn phần

Phương pháp: Khi biến cố B có thể xảy ra theo nhiều “con đường” khác nhau (A hoặc Ā), ta cộng xác suất của từng con đường: P(B) = P(A) . P(B|A) + P(Ā) . P(B|Ā)

Ví dụ: Một nhà máy có 2 máy sản xuất. Máy I làm ra 60% sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 3%, máy II làm ra 40% sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm, tính xác suất đó là phế phẩm.

Lời giải: Gọi A: “Sản phẩm do máy I sản xuất”, B: “Sản phẩm là phế phẩm”.

P(B) = 0,6 . 0,03 + 0,4 . 0,05 = 0,018 + 0,02 = 0,038

Dạng 5: Công thức Bayes

Phương pháp: Khi đã biết kết quả B xảy ra và cần tìm xác suất của “nguyên nhân” A, ta dùng: P(A|B) = P(A) . P(B|A) / P(B)

Ví dụ: Với dữ liệu ở Dạng 4, biết sản phẩm được chọn là phế phẩm, tính xác suất sản phẩm đó do máy II sản xuất.

Lời giải:

P(máy II | phế phẩm) = (0,4 . 0,05) / 0,038 = 0,02 / 0,038 = 10/19 ≈ 0,526

Nhận xét: Máy II chỉ làm ra 40% sản phẩm, nhưng lại chiếm hơn một nửa số phế phẩm, vì tỉ lệ lỗi của máy này cao hơn.

Một số dạng bài tập về biến cố phụ thuộc thường gặp trong đề thi

Tìm hiểu thêm: Tần số tích lũy

6. Lỗi thường gặp khi xác định biến cố phụ thuộc

Biến cố phụ thuộc không khó về công thức, nhưng rất dễ sai ở bước nhận diện và lập luận. Dưới đây là 5 lỗi phổ biến mà học sinh hay mắc trong bài kiểm tra và đề thi:

• Nhầm biến cố phụ thuộc với biến cố xung khắc: Học sinh cho rằng hai biến cố không thể cùng xảy ra thì độc lập. Thực tế, hai biến cố xung khắc có xác suất dương luôn là phụ thuộc.
• Nhầm lẫn giữa P(A|B) và P(B|A): Học sinh coi “xác suất A khi biết B” và “xác suất B khi biết A” là như nhau, trong khi hai giá trị này thường khác nhau.
• Quên cập nhật không gian mẫu khi lấy không hoàn lại: Ở các lần lấy sau, học sinh vẫn dùng số lượng ban đầu như thể chưa lấy ra phần tử nào.
• Kết luận theo cảm tính: Học sinh cho rằng hai biến cố cùng thuộc một phép thử thì phụ thuộc, mà không kiểm tra bằng đẳng thức P(A ∩ B) = P(A) . P(B).
• Đồng nhất “phụ thuộc” với “quan hệ nhân quả”: Học sinh thấy A và B phụ thuộc thì kết luận A gây ra B. Thực ra, phụ thuộc về xác suất chỉ cho thấy hai biến cố có liên hệ thống kê.

Lỗi thường gặp khi xác định biến cố phụ thuộc

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn hiểu rõ biến cố phụ thuộc là gì, nắm vững công thức xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất và cách phân biệt với biến cố độc lập qua các ví dụ minh họa cụ thể. Nếu bạn đang gặp khó khăn với các bài tiểu luận về xác suất thống kê hay những chuyên đề học thuật khác, hãy liên hệ dịch vụ viết thuê tiểu luận tại Luận Văn 1080. Đội ngũ chuyên môn vững vàng của chúng tôi sẽ hỗ trợ bạn hoàn thành bài viết chất lượng, đúng hạn và đáp ứng đầy đủ yêu cầu học thuật.

Nguồn tài liệu:

1. 3.2 – Independent and Mutually Exclusive Events, Introductory Statistics – OpenStax: https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/3-2-independent-and-mutually-exclusive-events
2. 3.3 Two Basic Rules of Probability, Introductory Statistics – OpenStax: https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/3-3-two-basic-rules-of-probability